题目内容
已知点A(2,0),B(0,6),O为坐标原点.(1)若点C在线段OB上,且∠ACB=
3π |
4 |
(2)若原点O关于直线AB的对称点为D,延长BD到P,且|PD|=2|BD|,已知直线L:ax+10y+84-108
3 |
分析:(1)依据条件求出AC的斜率,可得点C的坐标,即得边长BC,点A的横坐标就是三角形的高,代入三角形的面积公式进行计算.
(2)利用对称的特点,待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标,由题意可得
=2
,把相关向量的坐标代入,利用两个向量相等的条件求出点P的坐标,再把点P的坐标代入代入直线l的方程,求出a,即得直线l的斜率,由斜率求直线l的倾斜角.
(2)利用对称的特点,待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标,由题意可得
PD |
DB |
解答:解:(1)∵点C在线段OB上,且∠ACB=
,∴∠ACO=
,故AC的倾斜角为
,
故AC的斜率为-1,设点C(0,b),由-1=
得 b=2,即点C(0,2),
BC=4,点A到BC的距离为2,故△ABC的面积为
×4×2=4.
(2)设D(m,n),点P(c,d),AB的方程
+
=1,即 3x+y-6=0,
由
得 m=
,n=
,故D(
,
),
=(
-c,
-d),
=(-
,
),
由题意知,
=2
,
∴
-c=-
,
-d=
,解得 c=
,d=-
,
故P(
,-
),把P(
,-
)代入直线l:ax+10y+84-108
=0,
得 a•
+10•
+84-108
=0,即得 a=10
.
∴直线l的斜率为
=-
,故直线l的倾斜角为 120°.
3π |
4 |
π |
4 |
3π |
4 |
故AC的斜率为-1,设点C(0,b),由-1=
0-b |
2-0 |
BC=4,点A到BC的距离为2,故△ABC的面积为
1 |
2 |
(2)设D(m,n),点P(c,d),AB的方程
x |
2 |
y |
6 |
由
|
18 |
5 |
6 |
5 |
18 |
5 |
6 |
5 |
PD |
18 |
5 |
6 |
5 |
DB |
18 |
5 |
24 |
5 |
由题意知,
PD |
DB |
∴
18 |
5 |
36 |
5 |
6 |
5 |
48 |
5 |
54 |
5 |
42 |
5 |
故P(
54 |
5 |
42 |
5 |
54 |
5 |
42 |
5 |
3 |
得 a•
54 |
5 |
-42 |
5 |
3 |
3 |
∴直线l的斜率为
-a |
10 |
3 |
点评:本题考查直线的倾斜角的定义,倾斜角与斜率的关系;点关于直线的对称点的坐标求法,两个向量相等时向量坐标间的关系.

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