题目内容

已知点A(2,0),B(0,6),O为坐标原点.
(1)若点C在线段OB上,且∠ACB=
4
,求△ABC的面积;
(2)若原点O关于直线AB的对称点为D,延长BD到P,且|PD|=2|BD|,已知直线L:ax+10y+84-108
3
=0经过点P,求直线l的倾斜角.
分析:(1)依据条件求出AC的斜率,可得点C的坐标,即得边长BC,点A的横坐标就是三角形的高,代入三角形的面积公式进行计算.
(2)利用对称的特点,待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标,由题意可得
PD
=2
DB
,把相关向量的坐标代入,利用两个向量相等的条件求出点P的坐标,再把点P的坐标代入代入直线l的方程,求出a,即得直线l的斜率,由斜率求直线l的倾斜角.
解答:解:(1)∵点C在线段OB上,且∠ACB=
4
,∴∠ACO=
π
4
,故AC的倾斜角为
4

故AC的斜率为-1,设点C(0,b),由-1=
0-b
2-0
  得 b=2,即点C(0,2),
 BC=4,点A到BC的距离为2,故△ABC的面积为  
1
2
×4×2=4.
(2)设D(m,n),点P(c,d),AB的方程
x
2
+
y
6
=1,即  3x+y-6=0,
n
m
=
-1
-3
=
1
3
 
3•
m
2
+
n
2
-6=0
  得 m=
18
5
,n=
6
5
,故D(
18
5
6
5
),
PD
=(
18
5
-c,
6
5
-d),
DB
=(-
18
5
24
5
),
由题意知,
PD
=2
DB

18
5
-c=-
36
5
6
5
-d=
48
5
,解得 c=
54
5
,d=-
42
5

故P(
54
5
,-
42
5
),把P(
54
5
,-
42
5
)代入直线l:ax+10y+84-108
3
=0,
得 a•
54
5
+10•
-42
5
+84-108
3
=0,即得 a=10
3

∴直线l的斜率为
-a
10
=-
3
,故直线l的倾斜角为 120°.
点评:本题考查直线的倾斜角的定义,倾斜角与斜率的关系;点关于直线的对称点的坐标求法,两个向量相等时向量坐标间的关系.
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