Question

如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角为a，记两个矩形对角线的交点分别为Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求证：QQ′∥平面ABB′；
（2）当b=

2

a，且a=

π

3

时，求异面直线AC与DB′所成的角；
（3）当a＞b，且AC⊥DB'时，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

Answer 1

分析：（1）连接BB′，由题意可得QQ′∥BB′，而BB'?平面ABB′，所以QQ′∥平面ABB′．
（2）分别写出两条直线所在的向量

AC

=(a，0，b)，

DB′

=(

a

2

，

3 a

2

，-b)，然后利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
（3）根据题中条件得到pa=b²，再分别求出两个平面的法向量，然后利用向量间的有关运算切线两个法向量的夹角的余弦值，再转化为二面角的平面角的余弦值．

解答：解：（1）连接BB′，
∵Q，Q′分别是BD，B′D′的中点，
∴QQ′∥BB′，而BB'?平面ABB′，
∴QQ′∥平面ABB′；
（2）以A为原点，AB，AD分别为X轴，Z轴建立空间直角坐标系，如图：
由条件可设A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，0，b），D（0，0，b），又∠BAB′=

π

3

，
AB′=a，
∴B′(

a

2

，

3 a

2

，0)，C′(

a

2

，

3 a

2

，b)，

AC

=(a，0，b)，

DB′

=(

a

2

，

3 a

2

，-b)，
设异面直线AC与DB′所成角为θ，
则cosθ=

AC • DB′

| AC || DB′ |

=

a2 2 -b2

a2+b2 a2 4 + 3a2 4 +b2

=

a2-2b2

2(a2+b2)

∵b²=2a²，
∴cosθ=-

1

2

所以异面直线AC与DB'所成角为

π

3

（3）设B′（p，q，0），C′（p，q，b），
∵AB′=a，
∴p²+q²=a²，∴

DB′

=(p，q，-b)，
又有

AC

=(a，0，b)，并且AC⊥DB′，
∴

DB′

•

AC

=pa-b2=0，得pa=b²，
设平面AB′C′D的法向量为

n

=（x，y，z），
∵

n

⊥

AD

，

n

⊥

AB′

，

AD

=(0，0，b)，

AB′

=(p，q，0)，
∴

n

=(-

q

p

，1，0)，
设平面ABCD的法向量为

m

，则

m

=（0，±1，0），
∴cosa=

±1

q2 p2 +1

=

|p|

p2+q2

=±

b2 a

a

=±

b2

a2

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，进而得到线面的平行关系与垂直关系，也有利于建立坐标系，利用向量解决空间角、空间距离等问题．