Question

如图，矩形ABCD与正三角形APD中，AD=2，DC=1，E为AD的中点．现将正三角形APD沿AD折起，得到四棱锥的三视图如下：
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线BE，PD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由题中的三视图，我们可以判断出四棱锥P-ABCD的底面是长为2、宽为1的矩形，高为

2

，代入棱锥体积公式即可得到四棱锥P-ABCD的体积；
（2）根据题意，点P在平面ABCD内的射影为BC的中点O，连接OD，由平行四边形的性质可得DE∥BO且DE=BO，从而得出四边形BEDO是平行四边形，得OD∥BE，所以∠PDO即为异面直线BE、PD所成角，再由题中所给数据解Rt△POD，即可得到异面直线BE、PD所成角的大小．

解答：解：（1）根据题中的三视图，将四棱锥P-ABCD还原为直观图，如图所示．
可得平面PBC⊥平面ABCD，P在底面ABCD的射影O为BC的中点，连结PO，得PO=

2

∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2，DC=1，
∴底面积S_ABCD=AD×DC=2．
又∵四棱锥P-ABCD的高PO=

2

，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

S_ABCD×PO=

2 2

3

；
（2）连结OD，
∵矩形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点，
∴ED

∥

.

B0，可得四边形BEDO是平行四边形．
因此OD∥BE，得到∠PDO（或其补角）等于异面直线BE、PD所成角，
∵Rt△CDO中，DC=CO=1，∴OD=

DC2+CO2

=

2

．
∵PO⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，∴PO⊥DO．
Rt△POD中，tan∠PDO=

PO

OD

=1，可得∠PDO=45°，即异面直线BE、PD所成角等于45°．

点评：本题给出四棱锥的三视图，要求将其还原为直观图，并依此求异面直线所成角和锥体的体积．着重考查了三视图的理解、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．