题目内容
已知函数y=lg(
-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.

由题意
-x>0,解得x∈R,即定义域为R.
又f(-x)=lg[
-(-x)]=lg(
+x)=lg
=lg(
-x)-1=-lg(
-x)=-f(x),∴y=lg(
-x)是奇函数.任取x1、x2∈(0,+∞)且x1<x2,
则
<

+x1<
+x2
>
,
即有
-x1>
-x2>0,
∴lg(
-x1)>lg(
-x2),即f(x1)>f(x2)成立.
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.
又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.

又f(-x)=lg[






则








即有


∴lg(


∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.
又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.
注意到
+x=
,即有lg(
-x)=-lg(
+x),从而f(-x)=lg(
+x)=-lg(
-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性.







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