题目内容
若y=f(x)的图象如图所示,定义F(x)=
f(t)dt,x∈[0,1],则下列对F(x)的性质描述正确的有______.
(1)F(x)是[0,1]上的增函数;
(2)F′(x)=f(x);
(3)F(x)是[0,1]上的减函数;
(4)?x0∈[0,1]使得F(1)=f(x0).

∫ | x0 |
(1)F(x)是[0,1]上的增函数;
(2)F′(x)=f(x);
(3)F(x)是[0,1]上的减函数;
(4)?x0∈[0,1]使得F(1)=f(x0).

由定积分的集合意义可知,F(x)表示图中阴影部分的面积,且F′(x)=f(x),
当x0逐渐增大时,阴影部分的面积也逐渐增大,
所以F(x)为增函数,故(1)、(2)正确;
由定积分的几何意义可知,必然)?x0∈[0,1],使S1=S2,
此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F(1)=∫01f(t)dt=f(x0),故(4)正确.
所以对F(x)的性质描述正确的有(1)(2)(4)
故答案为:(1)(2)(4)

当x0逐渐增大时,阴影部分的面积也逐渐增大,
所以F(x)为增函数,故(1)、(2)正确;
由定积分的几何意义可知,必然)?x0∈[0,1],使S1=S2,
此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F(1)=∫01f(t)dt=f(x0),故(4)正确.
所以对F(x)的性质描述正确的有(1)(2)(4)
故答案为:(1)(2)(4)


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