Question

设a∈R，函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（1）若函数g（x）=

f′(x)

x

（x≠0）为奇函数，求a的值；
（2）若函数f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；
（3）若a＞-1，试求x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数g（x）的解析式，利用函数为奇函数，即可求a的值；
（2）确定函数f（x）的单调性，可求函数的极小值，利用函数在x=2处取得极小值，可求a的值；
（3）若a＞-1，对a解析分类讨论，确定函数在x∈[0，1]上的单调性，即可求出函数f（x）的最大值．

解答：解：（1）由题意，f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），…（1分）
∴g（x）=

f′(x)

x

=x+

a2+a

x

-（2a+1）x（x≠0），
∵函数g（x）=

f′(x)

x

（x≠0）为奇函数，
∴g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

；                                            …（4分）
（2）f′（x）=（x-a）[x-（a+1）]…（5分）

x	（-∞，a）	（a，a+1）	（a+1，+∞）
f′（x）	+	-	+

∴f（x）在x=a+1处取得极小值，在x=1处取得极大值，…（7分）
由题设a+1=2，∴a=1；                            …（8分）
（3）由（2）知：
①a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴[f（x）]_max=f（1）=a2-

1

6

；…（10分）
②a=0时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴[f（x）]_max=f（0）=0；   …（11分）
③0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上是增函数，f（x）在[a，1]上是减函数，∴[f（x）]_max=f（a）=

1

3

a3+

1

2

a2；                           …（13分）
④-1＜a＜0时，f（x）在[0，a+1]上是减函数，f（x）在[a+1，1]上是增函数，
∵f（1）-f（0）=a2-

1

6

=(a+

6

6

)(a-

6

6

)，
∴-1＜a＜-

6

6

时，f（1）＞f（0，∴[f（x）]_max=f（1）=a2-

1

6

；
-

6

6

≤a＜0时，f（1）≤f（0），∴[f（x）]_max=f（0）=0；    …（15分）
综上，[f（x）]_max=

a2- 1 6 ，-1＜a＜- 6 6 或a≥1 0，- 6 6 ≤a≤0 1 3 a3+ 1 2 a2，0＜a＜1

．        …（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．