题目内容
【题目】已知椭圆C: 过点A(2,3),且F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在于行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于 ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵椭圆C: 过点A(2,3),且F(2,0)为其右焦点,
∴椭圆C的左焦点为F′(﹣2,0),则|AF|=3,|AF′|= =5,
∴ ,即
,∴b2=16﹣4=12,
∴椭圆C的方程为 =1.
(2)解:设存在符合题意的直线l,其方程为y= ,
由 ,整理,得3x2+3tx+t2﹣12=0,
∵直线l与椭圆C有公共点,
∴△=(3t)2﹣12(t2﹣12)=﹣3t2+144≥0,
解得﹣4 ,
∵直线OA与l的距离等于 ,∴
=
,故t=±5.
∵±5∈[﹣4 ,4
],
∴直线l的方程为y= 或y=
【解析】(1)利用椭圆焦点和椭圆定义,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)设存在符合题意的直线l,其方程为y= ,与椭圆联立,得3x2+3tx+t2﹣12=0,由此利用根的判别式、点到直线的距离公式,能求出结果方程.
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