直线l与椭圆+=1交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.(1)求椭圆的方程.(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点,已知m=(ax₁,by₁),n=(ax₂,by₂),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

(1) +x²=1. (2) 定值.理由见解析

解析

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设抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.

已知常数，向量，经过定点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于，其中，
（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过的直线交曲线于两点，求的取值范围。

我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

（1）求抛物线方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.

已知抛物线C:y²=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若圆x²＋y²＝的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.

已知椭圆的右焦点为，设左顶点为A，上顶点为B且，如图．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，过的直线交椭圆于两点，试确定的取值范围．

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)线段OF₂(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

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