Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，q＞1，求的值；
（2）若a₁=1；对①和②时，分别研究S_n的最值，并说明理由；
（3）若首项a₁=10，设，t是正整数，t满足不等式|t-63|＜62，且对于任意正整数n有9＜S_n＜12成立，问：这样的数列{a_n}有几个？

Answer 1

解：（1），则----（5分）
（2）当时，，所以S_n随n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，
此时S_n有最小值为1，但无最大值．-------------------------------（3分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
当时，
若n=2k，k∈N^*时，，所以S_n随k的增大而增大，
即n是偶数时，，即
若n=2k-1，k∈N^*时，，所以S_n随k的增大而减小，
即n是奇数时，，即
所以，S_n有最大值为1，最小值为．---（4分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
（3）．
且S_n随着n的增大而增大-----------------------（3分）-----------------------------（2分）
t∈N^*?124-6+1=119个．----------------------------------------（1分）
分析：（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；
（2）当时，，所以S_n随n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，此时S_n有最小值为1，但无最大值当时，，分n是偶数，奇数讨论求最大值与最小值
（3）根据t满足不等式|t-63|＜62，可确定q的范围，进而可得S_n随着n的增大而增大，利用9＜S_n＜12，可求解．
点评：本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．