Question

(本小题满分13分)

如图，已知、为平面上的两个定点 ，，且，（为动点，是和的交点）.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；

（Ⅱ）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与直线相交于一点，证明＜（为的中点）．

Answer 1

(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.

由题设，，

∴，而.

∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆.

故点的轨迹方程是.…………………………………（4分）

（Ⅱ）设，，.

∴，且，即.

又、在轨迹上，∴，.

即，.

代入整理，得

.

∵，∴．

∵， ，∴．

∵，∴.

∴，即＜．………………………………………………（13分）