题目内容

(本小题满分13分)

如图,已知为平面上的两个定点,且为动点,的交点).

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;

(Ⅱ)若点的轨迹上存在两个不同的点,且线段的中垂线与直线相交于一点,证明的中点).

(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.

由题设

,而.

∴点是以为焦点、长轴长为10的椭圆.

故点的轨迹方程是.…………………………………(4分)

(Ⅱ)设.

,且,即.

在轨迹上,∴.

.

代入整理,得

.

,∴

,∴

,∴.

,即.………………………………………………(13分)

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