Question

某同学探究函数f(x)=x+

4

x

（x＞0）的最小值，并确定相应的x的值．先列表如下：

x	…	1 4	1 2	1	3 2	2	8 3	4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5	25 6	4	25 6	5	8.5	16.25	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：（（1）（2）问的填空只要写出结果即可）
（1）若x₁x₂=4，则 f（x₁）

=

f（x₂）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+

4

x

（x＞0）在区间 （0，2）上递减，则f（x）在区间

（2，+∞）

  上递增；
（2）当x=

2

时，f(x)=x+

4

x

（x＞0）的最小值为

4

；
（3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数f(x)=x+

4

x

（x＜0）的最大值吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据表格和函数单调性的定义，直接写出；
（2）根据表格中的数据写出；
（3）先求出f(x)=x+

4

x

的定义域，再验证f（-x）=-f（x），判断出函数是奇函数，得到图象关于原点对称，再求出当x＜0时的函数的最大值．

解答：解：（1）=，（2，+∞）  （左端点可以闭），
（2）由表格得，x=2时，f(x)=x+

4

x

（x＞0）取最小值是4                       
（3）∵函数 f(x)=x+

4

x

的定义域是{x|x≠0}，且f（-x）=-f（x），
∴f(x)=x+

4

x

是奇函数，
∴函数f(x)=x+

4

x

（x＜0）与函数f(x)=x+

4

x

（x＞0）关于原点对称，
则函数f(x)=x+

4

x

（x＜0）在x=-2时取得最大值-4．                                 …

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及观察能力，难度不大．