题目内容

某同学探究函数 $数学公式$ （x＞0）的最小值，并确定相应的x的值．先列表如下：
x … $数学公式$ $数学公式$ 1 $数学公式$ 2 $数学公式$ 4 8 16 …
y … 16.25 8.5 5 $数学公式$ 4 $数学公式$ 5 8.5 16.25 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：（（1）（2）问的填空只要写出结果即可）
（1）若x₁x₂=4，则 f（x₁）f（x₂）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数 $数学公式$ （x＞0）在区间（0，2）上递减，则f（x）在区间上递增；
（2）当x=时， $数学公式$ （x＞0）的最小值为；
（3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数 $数学公式$ （x＜0）的最大值吗？为什么？

解：（1）=，（2，+∞）  （左端点可以闭），
（2）由表格得，x=2时， $\text{[math]}$ （x＞0）取最小值是4
（3）∵函数 $\text{[math]}$ 的定义域是{x|x≠0}，且f（-x）=-f（x），
∴ $\text{[math]}$ 是奇函数，
∴函数 $\text{[math]}$ （x＜0）与函数 $\text{[math]}$ （x＞0）关于原点对称，
则函数 $\text{[math]}$ （x＜0）在x=-2时取得最大值-4．

分析：（1）根据表格和函数单调性的定义，直接写出；
（2）根据表格中的数据写出；
（3）先求出 $\text{[math]}$ 的定义域，再验证f（-x）=-f（x），判断出函数是奇函数，得到图象关于原点对称，再求出当x＜0时的函数的最大值．
点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及观察能力，难度不大．

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（1）若x₁x₂=4，则 f（x₁）

f（x₂）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+

（x＞0）在区间（0，2）上递减，则f（x）在区间

上递增；
（2）当x=

（x＞0）的最小值为

；
（3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数f(x)=x+

（x＜0）的最大值吗？为什么？

已知集合M＝{f(x)|f(x)＋f(x＋2)＝f(x＋1)，x∈R}，

(Ⅰ)证明：g(x)∈M；

(Ⅱ)某同学注意到g(x)是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究：M中的元素是否都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论．

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请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：（（1）（2）问的填空只要写出结果即可）
（1）若x₁x₂=4，则 f（x₁）______f（x₂）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数f(x)=x+

（x＞0）在区间（0，2）上递减，则f（x）在区间______ 上递增；
（2）当x=______时，f(x)=x+

（x＞0）的最小值为______；
（3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数f(x)=x+

（x＜0）的最大值吗？为什么？

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x	…			1		2		4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5		4		5	8.5	16.25	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：（（1）（2）问的填空只要写出结果即可）
（1）若x₁x₂=4，则 f（x₁）______f（x₂）．（请填写“＞，=，＜”号）；若函数

（x＞0）在区间（0，2）上递减，则f（x）在区间______ 上递增；
（2）当x=______时，

（x＞0）的最小值为______；
（3）根据函数f（x）的有关性质，你能得到函数

（x＜0）的最大值吗？为什么？