Question

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．
（1）已知f(x)=x

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是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；
（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为f(x)=x

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是[0，+∞）上的正函数，然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间；
（2）根据函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a²+a+m+1=0在区间(-1，-

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)内有实数解进行求解．

解答：解：（1）因为f(x)=

x

是[0，+∞）上的正函数，
且f(x)=

x

在[0，+∞）上单调递增，
所以当x∈[a，b]时，

f(a)=a f(b)=b

即

a =a b =b

解得a=0，b=1，
故函数f（x）的“等域区间”为[0，1]；
（2）因为函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，
所以当x∈[a，b]时，

g(a)=b g(b)=a

即

a2+m=b b2+m=a

两式相减得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜-

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，
故关于a的方程a²+a+m+1=0在区间(-1，-

1

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)内有实数解，
记h（a）=a²+a+m+1，
则

h(-1)＞0 h(- 1 2 )＜0

解得m∈(-1，-

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)．

点评：本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．