Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

1

2

，P₁为椭圆上一点，满足

F1F2

•

P1F2

=0，

P1F1

•

P1F2

=

9

4

，斜率为k的直线l 过左焦点F₁且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段

GF1

所成的比为λ．
（I） 求椭圆C的方程；
（II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设|

P1F1

|=r₁，|

P1F2

|=r₂，

F1F2

•

P1F2

=0，利用△P₁F₁F₂为直角三角形，得出r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，利用向量的数量积公式即可得到r₂=

3

2

，从而得 

b2

a

=

3

2

，又e=

c

a

=

1

2

，解得a，b．最后写出椭圆C的方程；
（2）可求得|RH|关于k的表达式，在y=k（x+1）中，令x=0，得G（0，k），由定比分点坐标公式⇒k²=

3

4

（3λ²+8λ+4），显然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上递增，从而求得|RH|的取值范围．

解答：解：（1）设|

P1F1

|=r₁，|

P1F2

|=r₂，

F1F2

•

P1F2

=0，
△P₁F₁F₂为直角三角形且∠P₁F₂F₁=90⁰，则r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，
由

P1F1

•

P1F2

=

9

4

⇒r₁r₂cosF₁P₁F₂=

9

4

⇒r₂=

3

2

由（2a-

3

2

）²=

9

4

+4c²得 

b2

a

=

3

2

，又e=

c

a

=

1

2

，解得a²=4，b²=3∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）可求得|RH|=3+

3

3+4k2

在y=k（x+1）中，令x=0，得y=k，即得G（0，k），
由定比分点坐标公式⇒k²=

3

4

（3λ²+8λ+4），
显然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上递增，
∴

45

4

≤k²≤24，∴3

1

33

≤|RH|≤3

1

16

即为|RH|的取值范围．

点评：本小题主要考查椭圆的方程、椭圆的简单性质、定比分点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．