题目内容

已知An(n,an)为函数y1=图象上的点，Bn(n,bn)为函数y2=x图象上的点，设cn=an-bn,其中n∈N*.

(1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；

(2)试比较cn与cn+1的大小.

答案：(1)证明：依题意有：an=，bn=n,  ∴cn=-n,

假设{cn}是等差数列，则2c2=c1+c3,

∴2(-2)=-1+-3,即矛盾.故{cn}不是等差数列.

若{cn}是等比数列,则c22=c1·c3.

∴(-2)2=(-1)·(-3),即=47矛盾.∴{cn}不是等比数列.

∴{cn}既非等差数列,又非等比数列.                                             

(2)解：∵对一切n∈N*有cn=-n＞0,

∴＜1.  ∴cn＞cn+1.

或令f(x)=-x(x＞0)利用倒数证明f(x)是减函数也可以证明cn＞cn+1.

练习册系列答案
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（2012•蓝山县模拟）已知f （x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a1），f （a2），…，f （an），…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=an f （an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求Sn；
（3）若cn=f（an）lgf （an），问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知点列An（xn，0），n∈N*，其中x1=0，x2=2，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An-2An-1的中点，…，
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AB
=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=
n
i=1
|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a5），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a5；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若A，B，C∈Sn，且?λ＞0，使
AB
=λ
BC
，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）设A，B，C∈Sn，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使
AB
=λ
BC
？说明理由；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈Sn．若A，B∈Sn，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．
（2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义
AB
=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=
n
i=1
|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈Sn，且?λ＞0，使
AB
=λ
BC
，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S20．若A，B∈S20，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．

已知{an}(n是正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列.

(1)求和：；

(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.

 

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