题目内容

(2013•西城区一模)已知集合Sn={X|X=(x1x2,…,xn),xiN*,i=1,2,…,n} (n≥2).对于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定义
AB
=(b1-a1b2-a2,…,bn-an)
;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A与B之间的距离为d(A,B)=
n
i=1
|ai-bi|

(Ⅰ)当n=5时,设A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B);
(Ⅱ)证明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使
AB
BC
,则d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
(Ⅲ)记I=(1,1,…,1)∈S20.若A,B∈S20,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的最大值.
分析:(Ⅰ) 当n=5时,直接利用d(A,B)=
5
i=1
|ai-bi|
,求得 d(A,B)的值.
(Ⅱ)设A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn),则由题意可得?λ>0,使得 
 bi-ai=λ(ci-bi),其中i=1,2,…,n,由此计算 d(A,B)+d(B,C)的结果,计算d(A,C)的结果,从而得出结论
(Ⅲ) 根据x,y∈R,则有|x+y|≤|x|+|y|,可得所以 d(A,B)=
20
i=1
|bi-ai| =
20
i=1
|(bi-1)+(1-ai)|
  
20
i=1
(|bi-1|+|1-ai| )
,等号成立的条件为ai=1,或bi=1,从而得到 d(A,B)≤26,由此可得结论.
解答:(Ⅰ)解:当n=5时,由d(A,B)=
5
i=1
|ai-bi|

得 d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7,所以 d(A,B)=7.
(Ⅱ)证明:设A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn).
因为?λ>0,使
AB
BC

所以?λ>0,使得 (b1-a1,b2-a2,…,bn-an)=λ((c1-b1,c2-b2,…,cn-bn),
所以?λ>0,使得 bi-ai=λ(ci-bi),其中i=1,2,…,n.
所以 bi-ai与ci-bi(i=1,2,…,n)同为非负数或同为负数.
所以 d(A,B)+d(B,C)=
n
i=1
|ai-bi|+
n
i=1
|bi-ci|

=
n
i=1
(|bi-ai|+|ci-bi|)
=
n
i=1
|ci-ai| =d(A,C)

(Ⅲ) 首先证明如下引理:设x,y∈R,则有|x+y|≤|x|+|y|.
证明:因为-|x|≤x≤|x|,-|y|≤y≤|y|,所以-(|x|+|y|)≤x+y≤|x|+|y|,
即|x+y|≤|x|+|y|.
所以 d(A,B)=
20
i=1
|bi-ai| =
20
i=1
|(bi-1)+(1-ai)|
  
20
i=1
(|bi-1|+|1-ai| )
 
=
20
i=1
|ai-1|+
20
i=1
|bi-1|=26

上式等号成立的条件为ai=1,或bi=1,所以 d(A,B)≤26.
对于 A=(1,1,…,1,14),B=(14,1,1,…,1),有 A,B∈S20
且d(I,A)=d(I,B)=13,故d(A,B)=26.
综上,d(A,B)的最大值为26.
点评:本题主要考查新定义,两点间的距离公式,两个向量共线,绝对值不等式的性质应用,属于中档题.
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