题目内容
已知函数,其中N*,aR,e是自然对数的底数.
(1)求函数的零点;
(2)若对任意N*,均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;
(3)已知k,mN*,k<m,且函数在R上是单调函数,探究函数的单调性.
(1)①当时,函数有一个零点:
②当时,函数有两个零点:
③当时,函数有两个零点:
④当时,函数有三个零点:
(2)的取值范围是
(3)函数在上是减函数.
解析试题分析:(1)整理得,
故只需讨论的判别式取值情况,确定函数的零点.
(2)由于
所以重点讨论,的图像是开口向下的抛物线.
由题意对任意,即,讨论求解.
(3)由(2)知, 存在,又函数在上是单调函数,故函数在上是单调减函数.
试题解析:(1),
设,
①当时,函数有一个零点: 1分
②当时,函数有两个零点: 2分
③当时,函数有两个零点: 3分
④当时,函数有三个零点:
4分
(2) 5分
设,的图像是开口向下的抛物线.
由题意对任意有两个不等实数根,
且
则对任意,即, 7分
又任意关于递增,,
故
所以的取值范围是 9分
(3)由(2)知, 存在,又函数在上是单调函数,故函数在上是单调减函数, 10分
从而即 11分
所以
由知 13分
即对任意
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