题目内容
【题目】已知函数,
,其中
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若对任意的,
(
为自然对数的底数)都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递减区间为
,
(2)
【解析】
试题分析:(1)求出,令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2) 对任意的
,
(
为自然对数的底数)都有
成立等价于在定义域
内有
,分三种情况讨论
的范围,利用导数研究函数的单调性,分别求出
的最值,从而可列出关于
的不等式,从而求出
的范围,综合三种情况所得结果可得实数
的取值范围.
试题解析:(1)解:当时,
解得
或
,
则函数的单调递减区间为
,
(2)对任意的都有
成立等价于在定义域
内有
.
当时,
.
∴函数在
上是增函数.
∴
∵,且
,
.
①当且
时,
,(仅在
且
时取等号)
∴函数在
上是增函数,
∴.
由,得
,
又,∴
不合题意.
②当时,
若,则
,
若,则
.
∴函数在
上是减函数,在
上是增函数.
∴. 由
,得
,
又,∴
.
③当且
时,
,(仅在
且
时取等号)
∴函数在
上是减函数.
∴.
由,得
,
又,∴
.
综上所述:
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