题目内容
20．已知a、b、c、d是实数，e是自然对数的底数，且eb=2a-1，d=2c+3，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 7 |
分析 由题意可得点（a，b）在y=ln（2x-1）图象上，点（c，d）在直线y=2x+3上，平移直线y=2x+3到与y=ln（2x-1）相切，切点到直线y=2x+3距离的平方即为所求．
解答 解：由题意可得点（a，b）在ey=2x-1即函数y=ln（2x-1）图象上，
同理可得点（c，d）在直线y=2x+3上，
对y=ln（2x-1）求导数可得y′=$\frac{2}{2x-1}$，
令$\frac{2}{2x-1}$=2可解得x=1，代入y=ln（2x-1）可得y=0，
∴曲线y=ln（2x-1）上的点（1，0）到直线y=2x+3的距离为$\frac{|2×1-0+3|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值为（$\sqrt{5}$）2=5
故选：B
点评 本题考查函和导数，涉及转化的思想和距离公式的几何意义，属中档题．
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| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | 2 | D． | 3 |
