Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴的两个顶点与，构成面积为2的正方形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆在轴的右侧交于点，，以为直径的圆经过点，的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）或.

【解析】试题分析：根据正方形定义可得，再根据，求出，的值即可求出椭圆的方程；设，，直线：，联立椭圆方程，根据韦达定理结合求出，给出方程，求出两点坐标，结合题意求出直线方程

解析：（Ⅰ）因为椭圆短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以，

因为，所以，，

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，直线：，显然，

由，得，

由韦达定理得，，

，

，

，

由，得，

即，得，即，

点，

所以线段的中垂线方程为，

令，可得，，

由，得，

将代入上式，得，整理为，解得，

所以，或，，

经检验满足题意，所以直线的方程为或.