Question

【题目】四棱锥的底面是边长的菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点.

(1)求证：面平面；

(2)若，求面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)首先可以根据是顶点在底面的射影得出，然后根据底面是边长的菱形且得出，再然后通过线面垂直的相关性质即可得出平面，最后根据平面即可得出结果；

(2)以为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量以及平面的一个法向量为，最后通过即可求出二面角的余弦值.

(1)因为是顶点在底面的射影，

所以平面，，

因为底面是边长的菱形，，是的中点，

所以，平面，

因为平面，

所以平面平面，

(2)

如图，以为轴建立空间直角坐标系，则：

，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，，

即，解得其中一个解为，

同理可求得平面的一个法向量为

故二面角的余弦值.