题目内容
已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．
（1）k＝1，F(x)的增区间为
，减区间为
.（2）
，减区间为.（2）(1)由已知，得f(x)＝
，∴f′(x)＝
，由已知，f′(1)＝
＝0，∴k＝1，∴F(x)＝xexf′(x)＝x
＝1－xln x－x，所以F′(x)＝－ln x－2，由F′(x)＝－ln x－2≥0⇒0<x≤
，由F′(x)＝－ln x－2≤0⇒x≥∴F(x)的增区间为，减区间为.
(2)∵对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，
使得g(x2)<F(x1)，∴g(x)max<F(x)max .
由(1)知，当x＝时，F(x)取得最大值F
＝1＋.
对于g(x)＝－x2＋2ax，其对称轴为x＝a，
当0<a≤1时，g(x)max＝g(a)＝a2，∴a2<1＋，从而0<a≤1，当a>1时，g(x)max＝g(1)＝2a－1，∴2a－1<1＋，从而1<a<1＋
.
综上可知：实数a的取值范围是.
，∴f′(x)＝，由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1，∴F(x)＝xexf′(x)＝x＝1－xln x－x，所以F′(x)＝－ln x－2，由F′(x)＝－ln x－2≥0⇒0<x≤，由F′(x)＝－ln x－2≤0⇒x≥∴F(x)的增区间为，减区间为.(2)∵对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，
使得g(x2)<F(x1)，∴g(x)max<F(x)max .
由(1)知，当x＝
时，F(x)取得最大值F＝1＋.对于g(x)＝－x2＋2ax，其对称轴为x＝a，
当0<a≤1时，g(x)max＝g(a)＝a2，∴a2<1＋
，从而0<a≤1，当a>1时，g(x)max＝g(1)＝2a－1，∴2a－1<1＋，从而1<a<1＋.综上可知：实数a的取值范围是
.
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，
，其中
的函数图象在点
处的切线平行于
轴．
与
的关系； （2）若
，试讨论函数
的直线与函数
的图象交于两点
（
）证明：
.
.
时，求函数
的单调区间；
时，若
，
恒成立，求实数
的最小值；
.
.
.
恒成立，求a的取值范围．
＋ln x，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围是______．
，则
.