题目内容
已知椭圆:
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图),直线
分别与椭圆
交于
两点,其中点
满足
,且
.
①证明直线与
轴交点的位置与
无关;
②若∆面积是∆
面积的5倍,求
的值;
(2)若圆:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.
(1)①交点为;②
;(2)
.
解析试题分析:(1)①本题方法很容易想到,主要考查计算推理能力,写出直线的方程,然后把直线
方程与椭圆方程联立,求得
点坐标,同理求得
点坐标,从而得到直线
的方程,令
,求出
,与
无关;②两个三角形∆
与∆
有一对对顶角
和
,故面积用公式
,
表示,那么面积比就为
,即
,这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式,从而求出
;(2)仍采取基本方法,设
的方程为
,则
的方程为
,直线
与圆
相交于
,弦
的长可用直角三角形法求,(弦心距,半径,半个弦长构成一个直角三角形),
的高为
是直线
与椭圆相交的弦长,用公式
来求,再借助于基本不等式求出最大值及相应的
值,也即得出
的方程.
试题解析:(1)①因为,M (m,
),且
,
直线AM的斜率为k1=
,直线BM斜率为k2=
,
直线AM的方程为y=
,直线BM的方程为y=
,
由得
,
由得
,
;
据已知,,
直线EF的斜率
直线EF的方程为
,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.
②,
,
,
,
,