题目内容
设函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
，若cos
cosφ-sin
sinφ=0，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三个内角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范围．
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 4 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三个内角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范围．
分析：（1）根据已知等式化简，得cos(
+φ)=0，结合φ的取值范围算出φ=
．由对称轴离一个对称中心的最近距离得周期T=π，结合公式得出ω=2，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）根据f（A）=-1，结合（1）的表达式及0＜A＜π，算出A=
，从而B+C=
．将C=
-B代入并且化简整理，得sinB+sinC=sin(B+
)，结合三角函数的图象与性质，可得sinB+sinC的取值范围．
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）根据f（A）=-1，结合（1）的表达式及0＜A＜π，算出A=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵cos
cosφ-sin
sinφ=0
∴cos
cosφ-sin
sinφ=cos(
+φ)=0
∴
+φ=
+kπ，得φ=
+kπ，k∈Z
∵|φ|＜
，∴取k=0，得φ=
，…（3分）
∵函数f（x）图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是
，
∴周期为T=π，得ω=
=2，得f(x)=sin(2x+
)． …（6分）
（2）由f（A）=-1，得sin(2A+
)=-1，
∵A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴
＜2A+
＜
，得2A+
=
，
∴A=
，从而B+C=
． …（9分）
由sinB+sinC=sinB+sin(
-B)=
cosB+
sinB
∴sinB+sinC=sin(B+
)，…（12分）
∵0＜B＜
，
＜B+
＜
，
∴
＜sin(B+
)≤1，即sinB+sinC∈(
，1]．
因此，sinB+sinC的取值范围是（
，1]…（14分）
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴cos
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵|φ|＜
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵函数f（x）图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是
| π |
| 4 |
∴周期为T=π，得ω=
| 2π |
| T |
| π |
| 6 |
（2）由f（A）=-1，得sin(2A+
| π |
| 6 |
∵A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
∴A=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
由sinB+sinC=sinB+sin(
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴sinB+sinC=sin(B+
| π |
| 3 |
∵0＜B＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
因此，sinB+sinC的取值范围是（
| ||
| 2 |
点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）满足的部分条件，要求确定其解析式并求函数值的取值范围，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
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