Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的方程f（x）+log₂k=0（k为实数）在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{19π}{24}$]上恒有实数解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式即可．
（2）由图象，得到x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]时，函数f（x）的单调递增区间；
（3）求出f（x）的范围，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知A=2，T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，ω=2，
当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，所以 2=2sin（2x+φ），所以φ=$\frac{π}{6}$，
函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由图象，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]时，函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]；
（3）∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{19π}{24}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
∴f（x）∈[-2，1]
∵关于x的方程f（x）+log₂k=0（k为实数）在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{19π}{24}$]上恒有实数解，
∴-1≤log₂k≤2
∴$\frac{1}{2}$≤k≤4．

点评 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．