Question

2．设x，y，z为整数且x+y+z=3，x³+y³+z³=3，则x²+y²+z²=3或57．

Answer 1

分析 设x=1+a，y=1+b，z=1+c，可得a+b+c=0．代入x³+y³+z³=3，可得：a³+b³+c³+3（a²+b²+c²）=0，利用a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac），可得：a³+b³+c³-3abc=0．可得a²+b²+c²=-abc，且abc≤0．于是x²+y²+z²=a²+b²+c²+3=3-abc．①若a，b，c有一个为0，那么x²+y²+z²=3 （此时a=b=c=0显然满足条件）．②若a，b，c有两正一负，不妨设a≥b＞0＞c，2（a²+ab+b²）=ab（a+b），设ab=u，a+b=v．化简整理即可得出．

解答 解：设x=1+a，y=1+b，z=1+c，∵x+y+z=3，
那么a+b+c=0．
代入x³+y³+z³=3，
可得：a³+b³+c³+3（a²+b²+c²）=0，
∵a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac），
可得：a³+b³+c³-3abc=0．
∴a²+b²+c²=-abc，且abc≤0．
∵x²+y²+z²=a²+b²+c²+2（a+b+c）+3=a²+b²+c²+3=3-abc，
①若a，b，c有一个为0，那么x²+y²+z²=3 （此时a=b=c=0显然满足条件）．
②若a，b，c有两正一负，不妨设a≥b＞0＞c，
2（a²+ab+b²）=ab（a+b），
设ab=u，a+b=v．
那么2v²-2u=uv，化为2v²=u（v+2），
∴u=$\frac{2{v}^{2}}{v+2}$=2（v-2）+$\frac{8}{v+2}$．
∵v=a+b＞0，
∴v的可取值为2，6．
此时u为4，9．
∴a+b=2，ab=4或a+b=6，ab=9．
此时有整数解a=3，b=3，c=-6，
对应x=4，y=4，z=-5．
此时x²+y²+z²=57．
∴x²+y²+z²=57或3．

点评 本题考查了乘法公式的应用、换元方法、分类讨论方法，考查了变形能力与计算能力，属于难题．