题目内容

设F₁，F₂是椭圆 $数学公式$ 的两个焦点，P是椭圆上的点，且丨PF₁丨：丨PF₂丨=2：1，则△PF₁F₂的面积为

A.
4
B.
6
C.
2 $数学公式$
D.
4 $数学公式$

A
分析：依题意可设丨PF₂丨=x，则丨PF₁丨=2x，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x的值，从而可知丨PF₁丨与丨PF₂丨，并能判断△PF₁F₂的形状，从而可求得△PF₁F₂的面积．
解答：设丨PF₂丨=x，则丨PF₁丨=2x，依题意，丨PF₁丨+丨PF₂丨=x+2x=3x=2a=6，
∴x=2，2x=4，
即丨PF₂丨=2，丨PF₁丨=4，又|F₁F₂丨=2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴△PF₁F₂的面积为S= $\text{[math]}$ 丨PF₁丨丨PF₂丨= $\text{[math]}$ ×2×4=4．
故选A．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF₁F₂为直角三角形是关键，属于中档题．

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设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF₁F₂是（　　）

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.斜三角形 D.直角三角形

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

（1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁·d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

（2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁·d₂的值。

（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，以F₁为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线F₂M与圆F₁相切，则该椭圆的离心率是

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，

则的面积为（）

A．4 B．6 C． D．