题目内容
9．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$的最小值为$\frac{1}{6}$．分析 由题意，$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$=$\frac{1}{6}$（a+2+b+3）（$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$），展开，利用基本不等式，即可得出结论．
解答 解：由题意，$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$=$\frac{1}{6}$（a+2+b+3）（$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$）
=$\frac{1}{6}$（${a}^{2}+{b}^{2}+\frac{b+3}{a+2}•{a}^{2}+\frac{a+2}{b+3}•{b}^{2}$）≥$\frac{1}{6}（{a}^{2}+{b}^{2}+2ab）$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$的最小值为$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．
点评 本题考查最小值的求法，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．
练习册系列答案
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9．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=sinx，则f（2014π+$\frac{5π}{3}$）的值为（ ）
| A． | -$\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
