题目内容
已知定点,曲线C是使为定值的点的轨迹,曲线过点.
(1)求曲线的方程;
(2)直线过点,且与曲线交于,当的面积取得最大值时,求直线的方程;
(3)设点是曲线上除长轴端点外的任一点,连接、,设的角平分线交曲线的长轴于点,求的取值范围.
(1);(2)和;(3).
【解析】
试题分析:(1)依题意并结合椭圆的定义,先判断出曲线的轨迹是以原点为中心,以为焦点的椭圆,从而得出椭圆中参数的值,由计算出参数的值,最后由计算出的取值即可得到曲线的方程;(2)设点,联立直线与椭圆的方程,消去得到,从而由二次方程根与系数的关系得到,再由弦长公式计算出,再计算出点到直线的距离,由公式计算出三角形的面积(含参数),结合基本不等式可确定面积最大时的值,从而可确定直线方程;(3)设,由角平分线可得=,化简并代入坐标进行运算,即可得出,然后根据,可确定的取值范围.
试题解析:(1) 2分
曲线C为以原点为中心,为焦点的椭圆
设其长半轴为,短半轴为,半焦距为,则,
曲线C的方程为 4分
(2)设直线的为代入椭圆方程,得
,计算并判断得,
设,得
到直线的距离,设,则
当时,面积最大
的面积取得最大值时,直线l的方程为:
和 9分
(3)由题意可知:=,= 10分
设其中,将向量坐标代入并化简得:
m(, 12分
因为,所以, 13分
而,所以 14分
考点:1.轨迹问题;2.椭圆及其标准方程;3.直线与圆锥曲线的综合问题.
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