题目内容

19.已知点A(sinθ,1),B(cosθ,0),C(-sinθ,2),且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$.
(Ⅰ)记函数$f(θ)=\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$,$θ∈(-\frac{π}{8},\frac{π}{2})$,讨论函数的单调性,并求其值域;
(Ⅱ)若O,P,C三点共线,求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值.

分析 (Ⅰ)设设P(x,y),由向量的坐标运算求出、和的坐标,由和向量相等的充要条件求出x和y,求出的坐标,由向量的数量积运算和三角公式化简,再根据三角函数的单调性
求出f(x)的单调性和值域;
(Ⅱ)根据条件得,代入向量共线的坐标条件,由商的关系求出tanθ,再由二倍角的正弦公式和平方、商的关系将sin2θ用tanθ表示出来并求值,再求出的值.

解答 解:设P(x,y),由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$得  $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$,
即 (cosθ-sinθ,-1)=(x-cosθ,y),
所以 x=2cosθ-sinθ,y=-1,亦即P(2cosθ-sinθ,-1);
(Ⅰ)$f(θ)=\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}=(sinθ-cosθ,1)•(2sinθ,-1)$=2sin2θ-2sinθcosθ-1=-sin2θ-cos2θ=$-\sqrt{2}sin(2θ+\frac{π}{4})$;
由$θ∈(-\frac{π}{8},\frac{π}{2})$得$2θ+\frac{π}{4}∈(0,\frac{5π}{4})$,
所以,当$2θ+\frac{π}{4}∈(0,\frac{π}{2})$即$θ∈({-\frac{π}{8},\frac{π}{8}}]$时,f(θ)单调递减,且$-\sqrt{2}≤f(θ)<0$,
当$2θ+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{2},\frac{5π}{4}})$即$θ∈[{\frac{π}{8},\frac{π}{2}})$时,f(θ)单调递增,且$-\sqrt{2}≤f(θ)<1$,
故,函数f(θ)的单调递减区间为$({-\frac{π}{8},\frac{π}{8}}]$,单调递增区间为$[{\frac{π}{8},\frac{π}{2}})$,
值域为$[{-\sqrt{2},1})$.
(Ⅱ)由O、P、C三点共线可知,$\overrightarrow{OP}$∥$\overrightarrow{OC}$,
即 (-1)•(-sinθ)=2•(2cosθ-sinθ),得$tanθ=\frac{4}{3}$,
所以 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{{(sinθ+cosθ)}^2}+1}=\sqrt{2+2sinθcosθ}$=$\sqrt{2+\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=$\sqrt{2+\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$.

点评 本题是向量与三角函数的综合题,考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等的充要条件,三角恒等变换中公式,涉及的公式多,需要熟练掌握并会灵活运用

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