题目内容
在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形形状.分析:先利用正弦定理求得a=ksinA,b=ksinB代入题设等式中得(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sin(A+B) 利用两角和公式化简整理,求得sinAsinB(sin2A-sin2B)=0,根据sinA>0,sinB>0求得sin2A=sin2B,进而求得A=B,或A+B=
,最后答案可得.
π |
2 |
解答:解:由正弦定理可知
=
=k
则a=ksinA,b=ksinB
代入(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),并把k约分
(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sin(A+B)
sin2Asin(A-B)+sin2Bsin(A-B)=sin2Asin(A+B)-sin2Bsin(A+B)
sin2A[sin(A+B)-sin(A-B)]=sin2B[sin(A-B)+sin(A+B)]
利用和角公式,整理有
sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosB
sin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0
sinAsinB(2sinAcosA-2sinBcosB)=0
sinAsinB(sin2A-sin2B)=0
sinA>0,sinB>0
所以sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180度
A=B或A+B=90度
所以是等腰三角形或直角三角形
a |
sinA |
b |
sinB |
则a=ksinA,b=ksinB
代入(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),并把k约分
(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sin(A+B)
sin2Asin(A-B)+sin2Bsin(A-B)=sin2Asin(A+B)-sin2Bsin(A+B)
sin2A[sin(A+B)-sin(A-B)]=sin2B[sin(A-B)+sin(A+B)]
利用和角公式,整理有
sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosB
sin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0
sinAsinB(2sinAcosA-2sinBcosB)=0
sinAsinB(sin2A-sin2B)=0
sinA>0,sinB>0
所以sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180度
A=B或A+B=90度
所以是等腰三角形或直角三角形
点评:本题主要考查了两角和公式,正弦定理的应用.解题的关键是熟练掌握这些公式及变形.
练习册系列答案
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在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是( )
A、
| ||||
B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
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