题目内容

20．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

分析 （1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，$\frac{1}{5}$），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=${C}_{3}^{2}$，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．

解答 解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
$\overline{X}$=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，$\frac{1}{5}$），
X=0，1，2，3；
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$×（$\frac{4}{5}$）3=$\frac{64}{125}$；
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×（$\frac{4}{5}$）2×$\frac{1}{5}$=$\frac{48}{125}$；
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{4}{5}$）×（$\frac{1}{5}$）2=$\frac{12}{125}$；
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{5}$）3=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列为：

X0123
P$\frac{64}{125}$$\frac{48}{125}$$\frac{12}{125}$$\frac{1}{125}$
即E（X）=0×$\frac{64}{125}$$+1×\frac{48}{125}$$+2×\frac{12}{125}$$+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力

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不经常使用微信
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附：
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K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

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