题目内容
【题目】如图,在正四棱柱中, , ,点是的中点,点在上.
(1)若异面直线和所成的角为,求的长;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)由空间坐标系得到可设, 和所成的角为,所以 ,求得,进而得到长度;(2)通过空间向量的方法求两个面的法向量,进而求得二面角。
解析:
以为原点, 为轴正半轴, 为轴正半轴, 为轴正半轴,建立空间直角坐标系.
(1)则, , , ,设,
所以,
因为和所成的角为,所以 ,
则, ,
所以.
(2)当时,则,
设面的法向量为,面的法向量,
因为, , ,
则, ,∴
取,则, ,则,
又, ,∴
所以, , ,则,
根据图形可知,二面角平面角为锐角,等于这两个法向量的夹角,
所以其大小的余弦值为.
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