Question

已知椭圆C与椭圆C₁：

x2

9

+

y2

5

=1有相同的焦点，且椭圆过点(2

3

，

3

)，右焦点为F，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=

1

2

x与椭圆C交于M、N两点，求△FMN的面积．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求椭圆C的焦点坐标（±2，0），方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，将点（2

3

，

3

）的坐标代入椭圆C的方程可求得a²，从而可得答案；
（2）由椭圆C的方程与直线y=

1

2

x联立，利用弦长公式可求得|MN|，由点到直线间的距离公式可求得点F到直线y=

1

2

x的距离d，从而可求△FMN的面积．

解答：解：（1）∵椭圆C₁：

x2

9

+

y2

5

=1的焦点坐标为（±2，0），
∴依题意设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，将点（2

3

，

3

）的坐标代入椭圆C的方程，
得

(2 3 )2

a2

+

( 3 )2

a2-4

=1，解得a²=16或a²=3（舍），
∴椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）由

x2 16 + y2 12 =1 y= 1 2 x

消去y得：x²=12，
∴x=±2

3

，y=±

3

．
不妨取M（2

3

，

3

），N（-2

3

，-

3

），
∴|MN|=

[ 3 -(- 3 )]2+[2 3 -(-2 3 )]2

=

12+48

=

60

=2

15

．
又右焦点F（2，0）到直线y=

1

2

x即x-2y=0的距离d=

2

5

=

2 5

5

，
∴S_△FMN=

1

2

|MN|•d=

1

2

×2

15

×

2 5

5

=2

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查方程思想与韦达定理与弦长公式、三角形面积公式的综合应用，属于难题．