Question

已知椭圆C与椭圆C₁：有相同的焦点，且椭圆过点，右焦点为F，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C交于M、N两点，求△FMN的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，可求椭圆C的焦点坐标（±2，0），方程为+=1，将点（2，）的坐标代入椭圆C的方程可求得a²，从而可得答案；
（2）由椭圆C的方程与直线y=x联立，利用弦长公式可求得|MN|，由点到直线间的距离公式可求得点F到直线y=x的距离d，从而可求△FMN的面积．
解答：解：（1）∵椭圆C₁：+=1的焦点坐标为（±2，0），
∴依题意设椭圆C的方程为+=1，将点（2，）的坐标代入椭圆C的方程，
得+=1，解得a²=16或a²=3（舍），
∴椭圆C的方程为：+=1．
（2）由消去y得：x²=12，
∴x=±2，y=±．
不妨取M（2，），N（-2，-），
∴|MN|====2．
又右焦点F（2，0）到直线y=x即x-2y=0的距离d==，
∴S_△FMN=|MN|•d=×2×=2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查方程思想与韦达定理与弦长公式、三角形面积公式的综合应用，属于难题．