题目内容

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，则它的对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．
分析：①由于f（x）=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，f′（x）=3x2-3x+3，f″（x）=6x-3，由f″（x）=0可求得x=
1
2
，f（
1
2
）=1；
②设P（x0，y0）为曲线上任意一点，由于函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
的对称中心为 (
1
2
，1)，故点P关于(
1
2
，1)的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，于是有f（1-x0）=2-y0．从而可求值．
解答：解：①∵f（x）=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，
∴f′（x）=3x2-3x+3，f″（x）=6x-3，
由f″（x）=0得x=
1
2
，
f（
1
2
）=
1
8
-
3
2
×
1
4
+3×
1
2
-
1
4
=1；
∴它的对称中心为(
1
2
，1)；
②设P（x0，y0）为曲线上任意一点，
∵曲线的对称中心为 (
1
2
，1)；
∴点P关于(
1
2
，1)的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
∴f（1-x0）=2-y0．
∴f（x0）+f（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=[f(
1
2013
)+f(
2012
2013
)]+[f(
2
2013
)+f(
2011
2013
)]+…+[f(
1006
2013
)+f(
1007
2013
)]=2×1006=2012．
故答案为：(
1
2
，1)；2012．
点评：本题考查实际问题中导数的意义，难点在于对“对称中心”的理解与应用，特别是：f（x0）+f（1-x0）=2的分析与应用，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
 
；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 
．
（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．
（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
1
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x3-
1
2
x2+
1
6
x+1，则该函数的对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
，计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（1，2）
（1，2）
．
（2）．若函数g(x)=
1
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x3-
1
2
x2+3x-
5
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+
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x-
1
2
，则g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=
2012
2012
．
（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
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2
x2+
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2
x+1，则f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
2013
2014
）=（　　）

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