题目内容

14.设a,b,n∈N*,且a≠b,对于二项式$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{n}$
(1)当n=3,4时,分别将该二项式表示为$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$(p,q∈N*)的形式;
(2)求证:存在p,q∈N*,使得等式$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{n}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$与(a-b)n=p-q同时成立.

分析 (1)当n=3,4时,利用二项式定理把二项式$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{n}$表示为$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$(p,q∈N*)的形式.
(2)分n为奇数、n为偶数两种情况,分别把${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$ 展开,综合可得结论;同理可得 ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{n}$=$\sqrt{p}$+$\sqrt{q}$,从而证得p-q=(a-b)n

解答 (1)当n=3时,${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{3}$=(a+3b)$\sqrt{a}$-(b+3a)$\sqrt{b}$=$\sqrt{a{•(a+3b)}^{2}}$-$\sqrt{b{•(b+3a)}^{2}}$;
当n=4时,${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{4}$=a2-4a$\sqrt{ab}$+6ab-4b$\sqrt{ab}$+b2=(a2+6ab+b2)-4(a+b)$\sqrt{ab}$=$\sqrt{{{(a}^{2}+6ab{+b}^{2})}^{2}}$-$\sqrt{16ab{•(a+b)}^{2}}$,
显然是$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$(p,q∈N*)的形式.
(2)证明:由二项式定理得${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=$\sum_{i=0}^{n}$ (-1)i•${C}_{n}^{i}$•${(\sqrt{n})}^{n-i}$•${(\sqrt{b})}^{i}$,
若n为奇数,则${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=[${C}_{n}^{0}$•${(\sqrt{a})}^{n}$+${C}_{n}^{2}$•${(\sqrt{a})}^{n-2}$•b+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{a}$•${(\sqrt{b})}^{n-1}$]-[${C}_{n}^{1}$${(\sqrt{a})}^{n-1}$•$\sqrt{b}$+${C}_{n}^{3}$•${(\sqrt{a})}^{n-3}$ ${(\sqrt{b})}^{3}$
+…+${C}_{n}^{n}$•${(\sqrt{b})}^{n}$],
分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为μ$\sqrt{a}$-λ$\sqrt{b}$的形式,其中μ,λ∈N*
也即${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=$\sqrt{{μ}^{2}a}$-$\sqrt{{λ}^{2}b}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$,其中 p、q∈N*
若n为偶数,则${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=[${C}_{n}^{0}$•${(\sqrt{a})}^{n}$+${C}_{n}^{2}$•${(\sqrt{a})}^{n-2}$•b+…+${C}_{n}^{n}$•${(\sqrt{b})}^{n}$]-[${C}_{n}^{1}$${(\sqrt{a})}^{n-1}$•$\sqrt{b}$+${C}_{n}^{3}$•${(\sqrt{a})}^{n-3}$ ${(\sqrt{b})}^{3}$
+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{a}$•${(\sqrt{b})}^{n-1}$],
类似地,可将上式表示为μ′$\sqrt{a}$-λ′$\sqrt{b}$的形式,其中μ′,λ′∈N*
也即${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=$\sqrt{{μ′}^{2}a}$-$\sqrt{{λ′}^{2}b}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$,其中 p、q∈N*
所以存在p,q∈N*,使得等式${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=$\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$,
同理可得${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{n}$可以表示为 ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{n}$=$\sqrt{p}$+$\sqrt{q}$,
从而有p-q=($\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$)($\sqrt{p}$-$\sqrt{q}$)=${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{n}$•${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{n}$=(a-b)n
综上可知结论成立.

点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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