Question

对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“好区间”．给出下列4个函数：
①；②；③；④．
其中存在“好区间”的函数是     ．（填入所有满足条件函数的序号）

Answer 1

②③④

试题分析：①函数在上是单调增函数，若函数在上存“好区间”则必有，即方程 有两个根，令 
在上恒成立，所以函数在上为减函数，则函数在上至多一个零点，即方程在上不可能有两个解，又因为函数的值域为，所以当或时，方程无解.所以函数没有“好区间”；
②对于函数，该函数在上是增函数由幂函数的性质我们易得，时， ，所以为函数的一个“好区间”.
③对于函数当时，所以函数的增区间有和，减区间是，取，此时，所以函数在上的值域了是，则为函数的一个“好区间”；
④函数在定义域上为增函数，若有“好区间”  则也就是函数有两个零点，显然是函数的一个零点，由
得，,函数在上为减函数；由，得，函数在上为增函数.所以的最大值为，则该函数 在
上还有一个零点.所以函数存在“好区间”.