题目内容

设 $数学公式$
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；
（Ⅲ）求证： $数学公式$ （其中e为自然对数的底数）．

证明：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y=g（x）在[0，+∞）上为减函数．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上为减函数．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，?ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=ln（1+x）-ax，则h（0）=0，
∴ $\text{[math]}$ ，
若a≥1，则x∈[0，+∞）时， $\text{[math]}$ 恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数
∴ln（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0显然不满足条件，
若0＜a＜1，则 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 时h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在 $\text{[math]}$ 上为增函数，
当 $\text{[math]}$ 时，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
取 $\text{[math]}$ ，即可证得 $\text{[math]}$ 对一切正整数n成立．
分析：（1）已知f（x），构造新的函数g（x），利用导数求函数单调的方法步骤；
（2）将ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立等价于ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，构造新的函数h（x）=ln（1+x）-ax，x∈[0，+∞），依题意，我们所要求的a的取值范围，需要满足以下条件：能够使得h（x）在[0，+∞）上单调递减．
（3）由（2）可知 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，可以得到 $\text{[math]}$ ＜e，只需令 $\text{[math]}$ =n，即可．
点评：本题综合性较强，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上三个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点．