Question

设f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

（a为常数）的图象关于原点对称
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，f（x）＞（

1

2

）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，化简可得

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，由此解得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

，令 g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，由于

2

x-1

在 区间（1，+∞）内单调递减，可得函数g（x）在区间（1，+∞）内
单调递减，从而得到函数f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

在区间（1，+∞）内单调递增．
（3）令h（x）=f（x）-(

1

2

)x，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，故g（x）的最小值为g（3），运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，
即 log

1

2

1+ax

-x-1

=log

1

2

x-1

1-ax

，∴

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，解得a=±1．   …（3分）
经检验，当a=1时不合条件，故a=-1． …（4分）
（2）由（1）可得f（x）=log 

1

2

 

x+1

x-1

，函数在区间（1，+∞）内单调递增．…（10分）
证明：令g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，由于

2

x-1

在 区间（1，+∞）内单调递减，
故函数g（x）在区间（1，+∞）内单调递减，故函数f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

在区间（1，+∞）内单调递增．
（3）令h（x）=f（x）-(

1

2

)x，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，…（12分）
故g（x）的最小值为g（3）=-

9

8

． …（14分）
 m＜-

9

8

．…（16分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，汗水肚饿恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．