题目内容
设函数
，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，
，f（xn）=xn+1（n∈N*）（1）求f（x）的表达式；
（2）求x2011的值；
（3）若
且
，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．
【答案】分析：（1）由方程x=f（x）有唯一解，则ax2+（2a-1）x=0有唯一解，知 
，由此能求出f（x）的表达式；
（2）由f（xn）=xn+1，知
，由 等差数列的定义可求出数列{xn}的通项公式；
（3）由
b1+b2+…+bn-n＜1，由此能证明b1+b2+…+bn＜n+1．
解答：解：（1）由
，可化简为ax（x+2）=x∴ax2+（2a-1）x=0
∴当且仅当
时，方程x=f（x）有唯一解．
从而
（2）由已知f（xn）=xn+1（n∈N*），得
∴
，即
∴数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
，∴
∵
，
∴
，即
∴
故
（3）证明：∵
，
∴
∴
∴
故b1+b2+…+bn＜n+1．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用，属于中档题．
，由此能求出f（x）的表达式；（2）由f（xn）=xn+1，知
，由 等差数列的定义可求出数列{xn}的通项公式；（3）由
b1+b2+…+bn-n＜1，由此能证明b1+b2+…+bn＜n+1．
解答：解：（1）由
，可化简为ax（x+2）=x∴ax2+（2a-1）x=0∴当且仅当
时，方程x=f（x）有唯一解．从而
（2）由已知f（xn）=xn+1（n∈N*），得
∴
，即∴数列
是以为首项，为公差的等差数列．，∴∵
，∴
，即∴
故
（3）证明：∵
，∴
∴∴
故b1+b2+…+bn＜n+1．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用，属于中档题．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，
，f（xn）=xn+1（n∈N*）
且
，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．
，方程x=f(x)有唯一解，其中实数a为常数，
，f(xn)=xn+1(n∈N*)。 (1)求f(x)的表达式；
且
，求证：
。 
，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，
，f（xn）=xn+1（n∈N*）
且
，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．
，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，
，f（xn）=xn+1（n∈N*）
且
，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．