题目内容
设函数

(1)求f(x)的表达式;
(2)求x2011的值;
(3)若


【答案】分析:(1)由方程x=f(x)有唯一解,则ax2+(2a-1)x=0有唯一解,知
,由此能求出f(x)的表达式;
(2)由f(xn)=xn+1,知
,由 等差数列的定义可求出数列{xn}的通项公式;
(3)由
b1+b2+…+bn-n<1,由此能证明b1+b2+…+bn<n+1.
解答:解:(1)由
,可化简为ax(x+2)=x∴ax2+(2a-1)x=0
∴当且仅当
时,方程x=f(x)有唯一解.
从而
(2)由已知f(xn)=xn+1(n∈N*),得
∴
,即
∴数列
是以
为首项,
为公差的等差数列.
,∴
∵
,
∴
,即
∴
故
(3)证明:∵
,
∴
∴
∴
故b1+b2+…+bn<n+1.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用,属于中档题.

(2)由f(xn)=xn+1,知

(3)由

b1+b2+…+bn-n<1,由此能证明b1+b2+…+bn<n+1.
解答:解:(1)由

∴当且仅当

从而

(2)由已知f(xn)=xn+1(n∈N*),得

∴


∴数列





∵

∴


∴

故

(3)证明:∵

∴


∴

故b1+b2+…+bn<n+1.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目