题目内容

设函数 $数学公式$ ，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数， $数学公式$ ，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若 $数学公式$ 且 $数学公式$ ，求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，可化简为ax（x+2）=x∴ax²+（2a-1）x=0
∴当且仅当 $\text{[math]}$ 时，方程x=f（x）有唯一解．
从而 $\text{[math]}$
（2）由已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列． $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
（3）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故b₁+b₂+…+b_n＜n+1．
分析：（1）由方程x=f（x）有唯一解，则ax²+（2a-1）x=0有唯一解，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出f（x）的表达式；
（2）由f（x_n）=x_n+1，知 $\text{[math]}$ ，由等差数列的定义可求出数列{x_n}的通项公式；
（3）由 $\text{[math]}$
b₁+b₂+…+b_n-n＜1，由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用，属于中档题．