题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)与双曲线
-y2=1共焦点，点A(3，
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q（0，2），P为椭圆C上的动点，点M满足：
=
，求动点M的轨迹方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| 3 |
| 7 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q（0，2），P为椭圆C上的动点，点M满足：
| QM |
| MP |
分析：（1）根据椭圆与双曲线公焦点，可知椭圆的焦点坐标，利用点A(3，
)在椭圆C上，根据椭圆的定义，我们可以求出a的值，根据焦点坐标，利用b2=a2-c2，可以求出b2，从而可求椭圆C的方程；
（2）利用点M满足：
=
，可得动点M与动点P之间的坐标关系，利用点P满足椭圆方程，我们可以求出动点M的轨迹方程．
| 7 |
（2）利用点M满足：
| QM |
| MP |
解答：解：（1）由已知得双曲线焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0），
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a，∴
+
=2a，∴a=3
而c2=4，∴b2=a2-c2=18-4=14
∴所求椭圆方程为
+
=1
（2）设M（x，y），P（x0，y0），由
=
得（x，y-2）=（x0-x，y0-y）
∴
而P（x0，y0）在椭圆
+
=1上
即
+
=1
即
+
=1为所求M的轨迹方程．
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a，∴
| 25+7 |
| 1+7 |
| 2 |
而c2=4，∴b2=a2-c2=18-4=14
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 18 |
| y2 |
| 14 |
（2）设M（x，y），P（x0，y0），由
| QM |
| MP |
∴
|
| x2 |
| 18 |
| y2 |
| 14 |
即
| (2x)2 |
| 18 |
| (2y-2)2 |
| 14 |
即
| 2x2 |
| 9 |
| 2(y-1)2 |
| 7 |
点评：本题的考点是椭圆的标准方程，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是利用向量关系，寻求动点之间的坐标关系．
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