题目内容
8．已知f（x）=-$\sqrt{{x}^{2}-4}$（x≤-2），数列{an} 满足 a1=-1，an=f-1（an-1）（n≥2），求通项公式an．分析 求出函数的反函数，注意函数的定义域，由题意可得数列{an2}是1为首项，4为公差的等差数列，运用等差数列的通项公式，即可得到所求通项公式an．
解答 解：y=f（x）=-$\sqrt{{x}^{2}-4}$（x≤-2），
即有x2=4+y2，
即x=-$\sqrt{4+{y}^{2}}$，
即有y=f（x）的反函数为y=f-1（x）=-$\sqrt{4+{x}^{2}}$（x≤0），
由an=f-1（an-1）（n≥2），可得
an=-$\sqrt{4+{{a}_{n-1}}^{2}}$，
即有an2-an-12=4，
则数列{an2}是1为首项，4为公差的等差数列，
即有an2=1+4（n-1）=4n-3，
由an＜0，可得
an=-$\sqrt{4n-3}$．
点评 本题主要考查数列的通项公式的求法，注意运用构造数列法，同时考查函数的反函数的求法，属于中档题．
练习册系列答案
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