Question

（2009•上海模拟）如图，A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a²；⑤体积为

5

6

a³．其中正确的结论是

①②⑤

．（要求填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，计算或数一数它的面数等，再结合割补法求出它的表面积及体积即可．

解答：解：如图，
原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8=14个面，故③错；
每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有

1

2

×48=24条棱．②正确；
所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，
原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12．
或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即12个．①正确；
三角形和四边形的边长都是

2

2

a，所以正方形总面积为6×

1

2

a²=3a²，三角形总面积为8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面积（3+

3

）a²，故④错；
体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×

1

6

（

a

2

）³=

1

6

a²，剩余总体积为a³-

1

6

a³=

5

6

a³．⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、多面体的表面积与体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．