Question

（2009•上海模拟）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，求实数a的值；
（2）已知关于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过

π

3

，求实数b的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对a等于0和不等于0分开讨论，再根据一元二次不等式的解集由开口方向和对应方程的根二者决定即可求出实数a的值；
（2）先对原不等式进行化简，把问题转化为“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，再根据函数f（x）的最小正周期为π，[0，π]的长度恰为函数的一个正周期，结合所问问题即可得到结论．
（3）先求出不等式

7

x+1

＞1的解集，根据其结论以及不等式组

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集构成的各区间长度和为6把问题转化为不等式组

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，当x∈（0，6）时，恒成立；再分别求出对应的实数t的取值范围即可得出结论．

解答：解：（1）a=0时不合题意；
a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，
则x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，
由题意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．
（2）因为sinxcosx+

3

cos2x+b
=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)+b=sin(2x+

π

3

)+

3

2

+b，
设f(x)=sin(2x+

π

3

)，原不等式等价于“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，
因为函数f（x）的最小正周期为π，[0，π]的长度恰为函数的一个正周期，
所以当-

3

2

-b＜

1

2

时，f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过

π

3

，
即b的取值范围为(-

1+ 3

2

，+∞)．
（3）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，
即（x+1）（x-6）＜0
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6）
设不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集为B，不等式组的解集为A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等价于

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

所以B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，
所以不等式组

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，当x∈（0，6）时，恒成立
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0
当x∈（0，6）时，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立
当x∈（0，6）时，

4

x2+3x

的取值范围为(

2

27

，+∞)，所以实数t≤

2

27

综上所述，t的取值范围为(0，

2

27

]

点评：本题主要考查不等式的解法．其中第一问涉及到一元二次不等式的解法，一元二次不等式的解集由开口方向和对应方程的根二者决定．开口向上大于0的解集在两根的两边，小于0的解集在两根中间；开口向下大于0的解集在两根的中间，小于0的解集在两根两边．