Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，且a_n+b_n=1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}的前n项和S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，证明：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知递推式，依次代入即可．
（2）构造数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}，证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列即可得到结论．
（3）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，a₄=$\frac{1}{2-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}$=$\frac{4}{5}$．
（2）∵a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，
又$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是首项为-2，公差为-1的等差数列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2-（n-1）=-n-1，
则a_n-1=-$\frac{1}{n+1}$，
则a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，（n∈N^*）．
（3）（Ⅱ）∵b_n+a_n=l（n∈N^*），
∴b_n=1-a_n=$\frac{1}{n+1}$，
∴b_nb_n+1=$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴S=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）$+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推式的意义、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”和“作差法”等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．