Question

20．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$+（1-a）lnx．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若a≤0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出a=2的函数的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（2）求出函数的导数，对a讨论，a=0，a＜0，①若a=-1，②若a＜-1时，③若0＞a＞-1时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$-lnx，
导数为f′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=2-1-1=0，
切点为（1，3），
则有曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=3；
（2）函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$+（1-a）lnx的导数为
f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-a}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-1+（1-a）x}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（ax+1）}{{x}^{2}}$（x＞0），
当a=0时，由f′（x）＞0可得x＞1；f′（x）＜0可得0＜x＜1．
即有f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
当a＜0时，①若a=-1则f′（x）≤0，则有f（x）在（0，+∞）递减；
②若a＜-1时，1＞-$\frac{1}{a}$，由f′（x）＞0可得-$\frac{1}{a}$＜x＜1；
f′（x）＜0可得x＞1或0＜x＜-$\frac{1}{a}$．
则有f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）递减，在（-$\frac{1}{a}$，1）递增；
③若0＞a＞-1时，1＜-$\frac{1}{a}$，由f′（x）＞0可得1＜x＜-$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0可得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$．
则有f（x）在（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减，在（1，-$\frac{1}{a}$）递增．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，主要考查导数的几何意义和函数的单调区间的求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．