Question

已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1.

(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设点P在抛物线C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在点P处的切线与C₁交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.

Answer 1

（1）+x²=1  （2）1

解析解:(1)由题意,得
从而
因此,所求的椭圆方程为+x²=1.
(2)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),
P(t,t²+h),
则抛物线C₂在点P处的切线斜率为
y′|_x=t=2t,
直线MN的方程为:
y=2tx-t²+h.
将上式代入椭圆C₁的方程中,
得4x²+(2tx-t²+h)²-4=0,
即4(1+t²)x²-4t(t²-h)x+(t²-h)²-4=0.①
因为直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点,
所以①式中的
Δ₁=16[-t⁴+2(h+2)t²-h²+4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x₃,
则x₃==.
设线段PA的中点的横坐标是x₄,
则x₄=.
由题意,得x₃=x₄,
即t²+(1+h)t+1=0.③
由③式中的
Δ₂=(1+h)²-4≥0,
得h≥1或h≤-3.
当h≤-3时,h+2<0,4-h²<0,
则不等式②不成立,
所以h≥1.
当h=1时,代入方程③得t=-1,
将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.
所以h的最小值为1.