题目内容
14.数列{an}满足a1=2,Sn=nan-n(n-1)(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$,求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)由已知求出Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2),两式相减得an=an-1+2,则数列{an}的通项公式an可求;
(2)由an=2n,代入bn=$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$,得到bn=$\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,进一步可求出Tn.
解答 解:(1)n≥2时,Sn=nan-n(n-1),
∴Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2).
两式相减得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),则(n-1)an=(n-1)an-1+2(n-1),
∴an=an-1+2.
∴{an}是首项为2,公差为2的等差数列.
∴an=2n;
(2)由(1)知an=2n,
∴bn=$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$=$\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.
∴Tn=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{n}{2n+2}$.
点评 本题考查了数列的通项公式以及数列的前n项和,考查了数列递推式,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
4.下列方程中表示椭圆的是( )
A. | $\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-4x+4}$+$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+4x+4}$=4 | B. | $\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-4x+4}$+$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+4x+4}$=2 | ||
C. | $\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-4x+4}$+$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+4x+4}$=6 | D. | $\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-4x+4}$-$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+4x+4}$=2 |
3.已知各项均为正数的等比数列{an},a4a5a6=8,a10a11a12=12,则a7a8a9=( )
A. | 6$\sqrt{6}$ | B. | 9 | C. | 10 | D. | 4$\sqrt{6}$ |
4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2a3-a1,则该数列的公比为( )
A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 4 | D. | $\frac{1}{4}$ |